没有出生证不可以变更抚养权。变更抚养权要满足相关条件：
《最高人民关于人民审理离婚案件处理子女抚养问题的若干具体意见》第十六条的规定：一方要求变更子女抚养关系有下列情形之一的，应予支持：
1、与子女共同生活的一方因患严重疾病或因伤残无力继续抚养子女的。
2、与子女共同生活的一方不尽抚养义务或有虐待子女行为，或其与子女共同生活对子女身心健康确有不利影响的。
3、十周岁以上未成年子女，愿随另一方生活，该方又有抚养能力的。
4、有其他正当理由需要变更的。
有上述法定情形之一，变更子女抚养关系的请求一般可以得到的支持。反之，则会有较大的诉讼风险。
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